【場合の数】数Aが苦手な方必見！センター数学対策として基礎をおさえようpart2

前回までの確認

場合の数や確率を得意にしよう！解き方のコツは『パターンを知ること』  

今回は【1-7】～【1-9】の問題を用意しました。

前回の続きです

場合の数はこれで以上です。

全部しっかりおさえて身につけましょう。

『場合の数』pick up問題【1-7】～【1-9】 

場合の数の最低限抑えておきたい残りの3問です。

一旦羅列するだけなので軽く読み飛ばしてもらって構いません。

【1－7】

正二十角形Pについて,次の問いに答えよ。

（１）正二十角形Pの対角線はいくつ引けるか。 また交わる2本の対角線の組はいくつあるか。

（２）正三角形Pの頂点から3つを選び,これらを頂点とする三角形を作るとき, Pと辺を共有しない三角形はいくつあるか。

ただし,合同な三角形は区別せずに1つと数えることにする。

(11弘前大改)

[1-8]

n枚のカード１、２、３、、、ｎを1列に並べる。

1番目のカードは1でなく, 2番目のカードは２でなく、以下同様にn番目のカードはｎでないような並べ方の総数をanとおく。

(1) a2, a3を求めよ.

(2)n=4のとき,1番目のカードが2であり,かつ2番目のカードが1である並べ方は何通りあるか.

(3)n=4のとき、1番目のカードが２であり,かつ2番目のカードが１でない並べ方は何通りあるか。

(4) a４を求めよ.

(5) a5を求めよ.

(12岡山理科大)

[1-9]

立方体ABCD-EFGHのすべての面に,辺も含めて縦横5本の線分を等間隔に引き,格子状の道を作る.

これらの道を通って,立方体の表面を点Aから点Gへ行く最短の道筋について,次の問いに答えよ.

(1)点Cを通る道筋は何通りか.

(2)辺BC上の少なくとも1点を通る道筋は何通りか

(3) 2辺BC, CD上の少な化も1点を通る道筋は何通りか

(4)すべての道筋は何通りか

(08徳島大)

演習問題解説

 【1-7】正○角形の問題に慣れろ

【1－7】

正二十角形Pについて,次の問いに答えよ。

（１）正二十角形Pの対角線はいくつ引けるか。 また交わる2本の対角線の組はいくつあるか。

（２）正三角形Pの頂点から3つを選び,これらを頂点とする三角形を作るとき, Pと辺を共有しない三角形はいくつあるか。

ただし,合同な三角形は区別せずに1つと数えることにする。

【1－7の解答】

（１）1つの頂点からは、17本の対角線が引けて、20この頂点があるから17×20本。

しかし、すべて等しく2回ずつ数えることになるので17×20÷２＝170本

また、交わる2本の対角線の組と20個の頂点から選んだ4点の組が1対1に対応するから、それは₂₀C₄＝4845組

（２）20個の頂点から異なる3点を2組選んでできる3角形が合同か否かをどのように判断するかが問題。

20個の頂点から3点選んで3角形を作るとき、選ばれなかった17個の点を3角形の三頂点を何個ずつに分けるかを考えることにより、合同でない3角形の集合は

a+b+c=17,1≦a≦b≦cをみたす整数の組（a,b,c)と

1対1に対応するこのような整数の組は

1≦a≦b≦17-a-b

すなわち

1≦a≦b、且つa+2b≦17

さらに

17≧a+2b≧3a,a≦5を満たす整数a,bの組の個数として数えて

(a,b)=(1,k)(1,k,8)

          (2,l)(2,l,8)

          (3,m)(3,m,7)

          (4,n)(4,n,6)

          (5,j)(5,j,6)

より、全部で8+6+5+3+2=24個

【1-8】○枚のカードの並び替え問題

[1-8]

n枚のカード１、２、３、、、ｎを1列に並べる。

1番目のカードは1でなく, 2番目のカードは２でなく、以下同様にn番目のカードはｎでないような並べ方の総数をanとおく。

(1) a2, a3を求めよ.

(2)n=4のとき,1番目のカードが2であり,かつ2番目のカードが1である並べ方は何通りあるか.

(3)n=4のとき、1番目のカードが２であり,かつ2番目のカードが１でない並べ方は何通りあるか。

(4) a４を求めよ.

(5) a5を求めよ.

【1-8の解答】

(1)

２１..........................a2=1

２３１と３１２........a3=2

(2)

3番目が３ではなく4番目が４でない　1通り（=a2）

(3)

2番目が１ではなく3番目が３でなく4番目が４でない

２～ｎ＋１＝ｎ個と考える。

a3と同じで２通り

(4)

ｎ＝４のとき

１番目を２で固定し、

２１４３、２４１３、２３４１

１番目を３、４のときも同様に考え、

a4=３×３＝９

（５）

ｎ＝５のとき

１番目が２、２番目が１のものが a3=2

１番目が２、２番目が１でないものがa4=9

合わせて１番目が２＋９＝１１通り

１番目が３，４，５のものも同数。

よってa5=4×11＝44

 【1-9】ランダムウォーク問題

[1-9]

立方体ABCD-EFGHのすべての面に,辺も含めて縦横5本の線分を等間隔に引き,格子状の道を作る.

これらの道を通って,立方体の表面を点Aから点Gへ行く最短の道筋について,次の問いに答えよ.

(1)点Cを通る道筋は何通りか.

(2)辺BC上の少なくとも1点を通る道筋は何通りか

(3) 2辺BC, CD上の少な化も1点を通る道筋は何通りか

(4)すべての道筋は何通りか

【1-9　解答】

平面の図に置き換えたら楽勝よ

（１）C→Gは1通りだからA→Cの最短の道筋を考えて、₈C₄＝７０通り

（２）₁₂C₄＝４９５通り

（３）辺CDの少なくとも1点を通る道筋も（２）で考えた495通りであるが、

（１）で数えた70通りが2回数えられていることに注意して、495×２-70＝920通り

（４）A→Gのすべての最短経路は6個の辺上（オレンジで示した）の少なくとも1点を通り、これらはそれぞれ（２）で求めた495通りずつあるが、

6個の頂点〇を通る経路がそれぞれ2回ずつ数えられていることに注意して、求める道筋は495×６－70×６＝2550通り

まとめ

場合の数の問題は以上である。

正直、この9問をやれば大抵の場合の数の問題は抑えたと言っていいと思う。

考え方としては全て地道に数えるものばかりで、たまに一対一対応として変換して考えるべき場面が出てくるくらいである。

この9問を何回も繰り返すことをオススメする。

そして今度は確率について学んでいこう。

確率も似たようなものなので、そこまでビビる必要はない。

一つ一つおさえていこう。